概率论错题02

当$x<0$时，$F(x)=0$.

当$x\geq 2$时，因为题目说射击都能中靶，所以$F(x)=1$.

当$0<x<2$时，$F(x)=k\pi x^2$.

又$\because$分布函数是右连续的，$\therefore\quad \underset{x\rightarrow2^+}{lim}F(x)=4k\pi=1$

$\therefore\quad k=\frac{1}{4\pi}\quad F(x)=\frac{x^2}{4}$.

综上，——

设需要配备N名工人，X为故障设备的台数，则$X\sim B(300,0.01)$，

故障但不能维修，即$N<X$.

$\therefore P(X>N)\leq 0.01$，$\therefore P(x\leq N)>0.99$,

$\because \lambda=np=3$，由泊松定理知，$P(X\leq N)=\underset{k=0}{\overset{N}{\sum}}e^{-3}\frac{3^k}{k!}$，

$\therefore P(X>N)=\underset{k=N+1}{\overset{\infty}{\sum}}e^{-3}\frac{3^k}{k!}$

然后，查表得当$N\geq 8$时上式成立。

f(x)有两个性质，一个是f(x)>0，得到c>0(没有用)。

还有一个是积分等于1

先换元，令$t=x-\frac 1 2$，

$$\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=ce^{\frac 1 4}\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}dt$$

下面求解这个积分：$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx$.这是一个超越积分，直接求不行，但他的平方可求。

$$(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx)^2$$

$$=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}dy$$

$$=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)}dxdy$$

$$=\int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}rdrd\theta$$

$$=\frac1 2 \int_0^{2\pi}d\theta=\pi$$

$\therefore \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$，

$\therefore 原式=ce^{\frac 1 4}\sqrt{\pi}=1$， $\therefore c=\frac{e^4}{\sqrt{\pi}}$.

即这三个电子管寿命都大于150的概率。

$$P(X>150)=1-P(X\leq 150)=1-\int_{100}^{150}\frac{100}{x^2}dx=\frac 2 3$$

$$\therefore p=(\frac 2 3)^3=\frac 8 {27}$$

（注意积分上下限，和理解题意）

化为标准正态分布：

$$P(|X-\mu|<\sigma)=P(|Y|<1)=\Phi(1)-\Phi(-1)$$

保持不变

X的取值为1，2，3……，所以Y的取值为-1，0，1

$\therefore P(Y=-1)=P(X=3)+P(X=7)+P(X=11)+\cdots$

$=\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^7}+\frac{1}{2^{11}}+\cdots=\frac{2}{15}$

$P(Y=0)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)+\cdots$

$=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}+\cdots=\frac{1}{3}$

$P(Y=1)=1-P(Y=0)+P(Y=-1)=\frac 8 {15}$

综上，…

这么精彩的推导，不好好看一看吗？

(1)当$Y\leq 0$时，f(y)=0

当$Y>0$时，

$$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(e^X\leq y)=P(X\leq lny)=\Phi(lny)$$

$$\therefore f_Y(y)=F_Y'(y)=\Phi'(lny)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}y}e^{-\frac{(lny)^2}{2}}$$

综上，分段…

(2)

当$Y<1$时，$f_Y(y)=0$,

当$Y\geq 1$时，

$$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(2X^2+1\leq y)$$

$$=P(-\sqrt{\frac{y-1}{2}}\leq X\leq\sqrt{\frac{y-1}{2}})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\sqrt{\frac{y-1}{2}}}^{\sqrt{\frac{y-1}{2}}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$$

$$\therefore f_Y(y)=F'_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y-1}{4}}(\frac{1}{4\sqrt{\frac{y-1}{2}}}+\frac{1}{4\sqrt{\frac{y-1}{2}}})$$

$$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y-1}{4}}\frac{1}{2\sqrt{\frac{y-1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{\pi(y-1)}}e^{-\frac{y-1}{4}}$$

综上，分段…略

变上限函数的求导法则！！！

（3）与2同理，反而更简单

当$X<-1$时，$F(X)=0$，

当$X>1$时，$F(X)=1$，

当$X=-1$时，$F(X)=\frac 1 8$，

当$-1<X<1$时，

$$F(X)=P(X\leq x)=P(X\leq-1)+P(-1<X<x)=\frac 1 8+k(x+1)$$

$$\therefore F(1-0)=\frac 1 8+2k=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

$$\therefore k=\frac 5{16}$$

$$\therefore F(X)=\frac 1 8+\frac 5{16}(x+1)=\frac{5x+7}{16}$$

最后，分段综述

这题就是讲究严谨，画画图，理一下思路

先全概率公式

$$=P(X=1)P(Y\leq y|X=1)+P(X=2)P(Y\leq y|X=2)$$

$$=\frac 1 2 P(Y\leq y|X=1)+\frac 1 2 P(Y\leq y|X=2)$$

当$Y\leq 0$时，$F_Y(y)=0，f_Y(y)=0$.

当$Y>2$时，$F_Y(y)=1，f_Y(y)=0$.

当$0<Y\leq 1$时，

$$F_Y(y)=\frac 1 2 y+\frac 1 2 \frac y 2=\frac{3y} 4$$

$$f_Y(y)=\frac 3 4$$

当$1<Y\leq 2$时，

$$F_Y(y)=0+\frac 1 2 \frac y 2=\frac y 4$$

$$f_Y(y)=\frac 1 4$$

综上，分段。。。

离散的和连续的混合起来了，第一眼看上去有点懵，如果想不到用全概率公式的话，还真没什么思路。

由题意得，$1\leq Y\leq2$，

$\therefore 当Y<1时，F_Y(y)=0$.当$Y>2$时，$F_Y(y)=1$.

当$1\leq Y\leq2$时，

$$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(Y=1)+P(1<Y<y)$$

$$=P(X\geq 2)+P(1<X<y)$$

$$=\int_2^3 \frac 1 9 x^2dx+\int_1^y \frac 1 9 x^2dx$$

$$=\frac 1{27}(27-8+y^3-1)=\frac {18+y^3}{27}$$

综上，。。。

不要陷入思维的误区，去考虑当X取什么值时$F_Y$的变化。要从Y的取值范围入手，进行分类讨论。

本题的难点是，利用90分和60分那两个数据，反求$\mu$和$\sigma$.

同时，要有标准化的思想

$$\because P(X>90)=\frac{12}{526}\therefore P(X\leq 90)=\Phi(\frac{90-\mu}{\sigma})=\frac{514}{526}$$

反查表得：

$$\frac{90-\mu}{\sigma}=2$$

同理，利用$P(X<60)$可得

$$\frac{60-\mu}{\sigma}=1$$

即可联立解出$\mu=70$，$\sigma=10$

然后，就简单了，布响写辣。

$$1-\alpha=1-P(|X|< x)=P(|X|\geq x)$$

$$=P(X\geq x)+P(X\leq -x)=2P(X\geq x)$$

$$\therefore P(X\geq x)=\frac{1-\alpha}{2}\therefore x=u_{\frac{1-\alpha}{2}}$$

这谁会啊，woc

$$\because \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=a\int_{-\infty}^{0}f_1(x)dx+b\int_{0}^{\infty}f_2(x)dx$$

且

$$\int_{-\infty}^{0}f_1(x)dx=\frac 1 2$$

$$\int_{0}^{\infty}f_2(x)dx=\int_0^3\frac 1 4dx=\frac 3 4$$

$$\therefore \frac a 2+\frac {3b}4=1$$

快使用无记忆性大法！

$$P(Y\leq a+1|Y>a)=P(Y\leq 1)=1-e^{-1}$$

乐

设X={蛋数}，Y={鸡数}，由全概率公式得

$$P(Y=n)=P(X=n)P(Y=n|X=n)+P(X=n+1)P(Y=n|X=n+1)+\cdots$$

$$=\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}p^n+\frac{\lambda^{n+1}}{(n+1)!}e^{-\lambda}C_{n+1}^np^nq+\cdots$$

$$=\frac{(\lambda p)^n}{n!}e^{-\lambda(1-q)}=\frac{(\lambda p)^n}{n!}e^{-\lambda p}$$

所以，$Y\sim P(\lambda p)$