概率论05

二维随机变量及其分布

联合分布函数

定义

设 (𝑋, 𝑌) 为二维随机变量, 对任意实数 𝑥, 𝑦, 二元函数$F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)$称为二维随机变量 (𝑋, 𝑌) 的联合分布函数, 简称为 (𝑋, 𝑌) 的分布函数.

性质

（1）$0\leq F(x,y)\leq 1$，且$F(+\infty,+\infty)=1$，而$F(-\infty,+\infty)=F(+\infty,-\infty)=F(-\infty,-\infty)=0$.

（2）对每个变量单调不减

• 固定 x , 对任意的 $y1< y2 , F (x, y_1 ) \leq F (x, y_2 )$,
• 固定 y , 对任意的 $x1< x2 , F (x_1 ,y) \leq F (x_2 , y)$.

（3）对每个变量右连续

$F(x_0,y_0)=F(x_0+0,y_0)=F(x_0,y_0+0)$.

离散型二维随机变量

联合概率分布如下，不必多说

$$0\leq p(i,j)\leq 1,\quad i,j=1,2,3\cdots$$

$$\underset{i=1}{\overset{+\infty}{\sum}}\underset{j=1}{\overset{+\infty}{\sum}}p(i,j)=1$$

联合概率分布的计算

$$p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j|X=x_i)$$

$$F(x,y)=\underset{x_i\leq x}{\sum}\underset{y_j\leq y}{\sum}p_{ij}$$

$$P\{(X,Y)\in G\}=\underset{(x_i,y_j)\in G}{\sum}p_{ij}$$

连续型二维随机变量

定义

设二维随机变量(X ,Y )的分布函数为 F(x ,y), 若存在非负可积函 数 f (x,y) , 使得对于任意实数 x , y 有

$$F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u,v)dudv$$

则称( X ,Y ) 为二维连续型随机变量,

f (x,y) 为( X ,Y ) 的联合概 率密度函数,简称概率密度函数,简记pdf (joint PDF)

性质

• $f(x,y)\geq 0$，在某些地方可以大于1
• $F(+\infty,+\infty)=1$
• $\frac{\partial^2F(x)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$.
• $P\{(X,Y)\in G\}=\underset{G}{\iint}f(x,y)dxdy$.

常用的二维连续型随机变量

均匀分布

v

性质：

若$G_1\subseteq G$，$G_1$的面积为$A_1$,那么$P\{(X,Y)\in G_1\}=\frac{G_1}{G}$.

就是说，如果是均匀分布的话，概率为面积之比。

二维正态分布

若随机变量( X ,Y ) 的联合pdf为

则称( X ,Y ) 服从参数为$\mu_1,\sigma_1^2,\mu_2,\sigma_2^2,\rho$的正态分布, 记作

$$(X,Y)\sim N(\mu_1,\sigma_1^2,\mu_2,\sigma_2^2,\rho)$$

其中$\sigma_1,\sigma_2>0,-1<\rho<1$.

边缘分布

由联合分布函数可以得到边缘分布函数；反过来一般不成立.

离散型

即全概率公式

连续型

已知联合密度可求边缘密度

$$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$$

同理，

$$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$$

这里虽然说是从负无穷到正无穷积分，但是f(x,y)往往是分段的，实际操作时要进一步确定上下限。

关于正态分布：

条件分布

离散型

因为(X ,Y)是二维连续型随机变量时， P(X = x) = 0, P(Y = y) = 0 不能直接代入条件概率公式，所以利用极限的方法引入条件分布函数

连续型

因为当(X ,Y)是二维连续型随机变量时， P(X = x) = 0, P(Y = y) = 0 不能直接代入条件概率公式，所以

由此，可以得到在条件Y= y下X的条件分布函数

$$F_{X|Y}(x,y)=\frac{\int_{-\infty}^xf(u,y)du}{f_Y(y)}=\int_{-\infty}^x\frac{f(u,y)du}{f_Y(y)}$$

所以，

$$f_{X|Y}(x,y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$

即联合密度除以边缘密度，

在实际操作的时候，同样要考虑分段的情况，尤其是当联合密度函数和边缘密度函数都分段且分段不同时，最终结果的分段区间需要仔细考虑。

省流

随机变量的独立性

定义

设X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，即$P(X\leq x,Y\leq y)=P(X\leq x)P(Y\leq y)$，则称X,Y相互独立.

两个随机变量相互独立时，其联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积, 边缘分布完全确定联合分布.

性质

离散型

X与Y独立等价于对一切i,j有

• $P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)$.
• $p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j}$

连续型

X与Y独立等价于对任何x ,y 有

• $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$
• $f_X(x)=f_{X|Y}(x|y),\quad(f_Y(y)>0)$
• $f_Y(y)=f_{Y|X}(y|x),\quad(f_X(x)>0)$

对于二维正态分布当X与Y独立时，等价于$\rho=0$.

拓展到n维随机变量

就是同理可得，

分布函数就是密度函数的n次重积分，边缘分布就是除所指定的维度之外的n-1次重积分

若$F(x_1,x_2,\dots,x_n)=F_{X_1}(x_1)F_{X_2}(x_2)\dots F_{X_n}(x_n)$，则称随机变量$X_1,X_2,\dots,X_n$相互独立。

二维随机变量函数的分布

研究的是$Z=g(X,Y)$的概率分布，方法是把Z转化为(X,Y)的事件。

离散型

$$P(Z=z_k)=P(g(X,Y)=z_k)$$

$$=\underset{g(x_i,y_j)=z_k}{\sum}P(X=x_i,Y=y_j)$$

注意，这里X,Y的取值范围是使得所有函数值等于z的x,y

连续型

总体思路

已知随机变量(X,Y)的密度函数求Z=g(X,Y)的密度函数的问题比较复杂，我们只讨论以下几种函数

• $Z=X+Y$
• $Z=\frac X Y$
• $Z=max\{X,Y\}$和$Z=min\{X,Y\}$

解决问题的方法是，先求分布函数，再求导得密度函数

（1）

$$F_Z(z)=P(Z\leq z)=P(g(X,Y)\leq z)$$

$$=\underset{g(x,y)\leq z}{\iint}f(x,y)dxdy$$

注意：积分域是随着z而变化的

（2）求导

$$f_Z(z)=F_Z'(z)$$

一般公式

如果Z=g(X,Y)中，(X,Y)到(Z,Y)或(Z,X)是一一对应变换的，有如下结论成立

设Y=h(X,Z)

$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^\infty f(x,h(x,z))|\frac{\partial h}{\partial z}|dx$$

同理，设X=h(Z,Y)

$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^\infty f(h(z,y),y)|\frac{\partial h}{\partial z}|dy$$

特别地，对于最大值，最小值函数

• 最大值函数：当g为max函数时，即要求X,Y的最大值小于等于z，只需要让X,Y都小于等于z即可
• 最小值函数：同理，取反面

所以，一览表

g(X,Y)	密度函数
Z=X+Y	$\int_{-\infty}^\infty f(z-y,y)dy$或$\int_{-\infty}^\infty f(x,z-x)dx$
$Z=\frac X Y$	$\int_{-\infty}^{\infty}f(yz,y)\vert y\vert dy$

g	max(X,Y)	min(X,Y)
二维	$F_X(z)F_Y(z)$	$1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]$
n维	$F_{X_1}(z)F_{X_2}(z)\dots F_{X_n}(z)$	$1-[1-F_{X_1}(z)][1-F_{X_2}(z)]\dots [1-F_{X_n}(z)]$
独立同分布（iid)	$[F(z)]^n$	$1-[1-F(z)]^n$