概率论01

古典概型

有放回抽样（二项分布）

$$P=\frac{C_n^ka^{n-k}b^k}{(a+b)^n}=C_n^k(\frac{a}{a+b})^{n-k}(\frac{b}{a+b})^k$$

不放回抽样（超几何分布）

$$P=\frac{C_a^{n-k}C_b^k}{C_{a+b}^n}$$

生日问题

盒子模型

（我编的）：把n个不同的球以相同的概率1/N随机放入N个(N≥n)盒 子中，且每个盒子能容纳的球数没有限制。

(1)事件A: 某指定的n个盒子各有一个球；

(2)事件B: 任何n个盒子各有一个球；

(3)事件C: 指定的某个盒子中恰好放入k个球（k<=n）

生日问题

求参加聚会的n(<=365)个人至少有两个人生日相同的 概率pn .

若把n个人看作上面的n个球，把一年中的365天作为盒子，则N=365， 所求的概率就是1 − P(B)，

$$p_n=1-p_{没有生日相同}=1-\frac{A_{365}^n}{365^n}$$

抽签问题

一袋中有a个白球，b个黄球，记a+b=n．设每次 摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球，不放回地摸n次。 求第k次摸到白球的概率。

我们可以把抽签的过程，看作是n个球排成一排，被依次拿出的过程。那么，抽签的结果有a个白球的位置决定。

先从n个位置选出a个位置用来放白球，这是样本总体。

由于第k次摸到了白球，第k次摸到白球的情况数就是在n-1个位置选a-1个位置放剩余的白球。

$$P(A_k)=\frac{C_{n-1}^{a-1}}{C_n^a}=\frac{a}{n}$$

几何概型

等车

汽车站每隔15分钟有一辆汽车到站，乘客到达车站 的时刻是随机的，求乘客候车时间不超过5分钟的概率. 在这个随机试验中，样本空间Ω = (0,15),且每个样本点 是等可能的 . {乘客候车不超过 5 分 钟 }这个事件是区间 (10,15)

P=1/3

约会

甲 、 乙两人相约在0到T这段时间内 ,在预定地点会面 . 先到的人等候另一个人 , 经过时间 t(t < T )后离去 .设每人在0到T这段时间内 各时刻到达该地是等可能的, 两人到达的时刻互不影响 . 求甲、乙两人能会面的概率 .

设 x , y 分别为甲、乙两人到达的时刻 ， 则 0 ≤ x ≤ T , 0 ≤ y ≤ T. 两人会面的充要条件为|x −y| ≤ t ,

$$p=\frac{阴影部分面积}{正方形面积}=\frac{T^2-(T-t)^2}{T^2}$$

蒲丰投针

平面上画有一组间距为a的平行线, 将一根长为l (0 < l < a)的针任意投掷在这个平面上,假设针落 在任意位置的可能性相同，试求针与平行线相交的概率.

以x表示针的中点M到最近的一条平行直线的距离.ϕ表示针与该平行 直线的夹角. 那么针落在平面上的位置可由(x,ϕ)完全确定。

投针试验的所有可能结果对应矩形区域中的所有点

$$\Omega =\{(x,\phi)|0\leq x\leq\frac a 2,0\leq\phi\leq\pi\}$$

所关心的事件A = {针与某一平行直线相交} 发生的充分必要条 件为Ω中的点满足

0\leq x\leq\frac l 2 \sin \phi,0\leq\phi\leq\pi\

$$P(A)=\frac{|G|}{|\Omega|}=\frac{\int_0^{\frac \pi 2}\frac l 2 \sin \phi d\phi}{\frac a 2 \pi}=\frac{2l}{\pi a}$$

因此，可以用此方法估计圆周率

蒙特卡罗方法

设计一个随机试验，用一个事件的概率来估计我们感兴趣 的一个量，在计算机上模拟所设计的随机试验，这样的方法称 为蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）或随机模拟法。

蒙特卡罗（Monte Carlo）算法计算圆周率

给定边长为1的正方形，画其内切圆，然后在正方形内随机打点，设点落在圆内的概 为P，则根据几何概型，

P = 圆面积 / 正方形面积 ＝ PI * (1/2) * (1/2) / 1 = PI / 4

本质上，和蒲丰投针是一样的

#include <iostream>
#include <ctime>
using namespace std;
int main()
{
	const int MAX_TIMES = 20000000;
	srand(static_cast<unsigned int>(time(0)));
	for (int j = 0; j < 10; j++) {
		int in = 0;
		for (int i = 0; i < MAX_TIMES; i++){
				double x = static_cast<double>(rand()) / RAND_MAX;
				double y = static_cast<double>(rand()) / RAND_MAX;
				if (x * x + y * y <= 1.0){
					in++;
				}
				if (i % (MAX_TIMES / 100) == 0) { cout << "."; }
			}
			double pi = 4.0 * in / MAX_TIMES;
			cout << "\nPI=" << pi << endl;
	}
	return 0;
}

主观概率

主观概率是指对事件发生的可能性的定量描述，是指建立在过去的经 验与判断的基础上确定的概率，反映的只是一种主观可能性。

（1）有的试验自然状态无法重复；如明天是否下雨；手术是否 成功；明年国民经济增长率如何；能否考上研究生；

（2）试验费用过于昂贵、代价过大；如洲际导弹命中率。

概率的公理化定义

设随机试验E的样本空间为Ω，若对E 的每一事件A，都有一个实数P(A)与之对应，并且满足下 列三条公理(Axioms)，则称P(A)为事件A的概率。

（1）非负性(Non-negativity) 对每一个事件A，有 P(A) ≥ 0

（2）规范性(Unitarity) P(Ω) =1

（3）可列可加性(Countable Addition rule) 对任意可数个两两互不相容事件A1, A2 ,…, 有 P(∑Ai) = ∑P(Ai).

概率的性质

加法公式

$$P(\mathop{\bigcup}\limits_{i=1}^n A_i)=\underset{1\leq i\leq n}{\sum}P(A_i) -\underset{1\leq i<j\leq n}{\sum}P(A_i A_j)$$

$$+\underset{1\leq i<j<k\leq n}{\sum}P(A_i A_j A_k) -\dots+(-1)^{n-1}P(\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap}}A_i)$$

特例：

P(AՍB)=P(A)+P(B)-P(AB)

P(AՍBՍC)=P(A)+P(B)+P©-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

概率连续性

概率不等式

$$如果A ⊆ B，则P(A) ≤P(B)$$

$$max(P(A),P(B))≤P(A∪B)≤min(P(A)+P(B), 1)$$

$$min{P(A),P(B)} ≥ P(A∩B) ≥ max(P(A)+P(B)−1, 0)$$

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\leq P(A)+P(B)$$

$$AB⊆A\cup B,且P(A)P(B)\leq P(A\cup B)$$